Olasılık Ders Notları

Giriş

Olasılık konusu, 10. sınıf ve 12. sınıf matematik müfredatında önemli bir yer tutmaktadır. Olasılık, belirsizlik içeren durumların değerlendirilmesi ve tahmin edilmesi ile ilgilidir. Bu ders notlarında, basit olayların olasılıkları ve çeşitli olasılık problemlerinin çözümlerine odaklanacağız.

Basit Olayların Olasılıkları

Olasılık, belirli bir olayın gerçekleşme ihtimalini ifade eder. Basit olayların olasılıkları, genellikle belirli bir deneyin tüm olası sonuçları göz önüne alınarak hesaplanır. Olasılık hesaplamalarında kullanılan temel formül şu şekildedir:

$P (A) = T u ¨ m Durumlar ı n Say ı s ı I ˙ stenen Durum Say ı s ı$

Örnek Problemler ve Çözümleri

Örnek 1: Hilesiz Zar ve Madeni Para

İki hilesiz zar ve bir hilesiz madeni para aynı anda atıldığında, toplam örnek uzayın eleman sayısı nedir?

Çözüm:

Zarın her birinde 6 ihtimal vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Madeni paranın 2 ihtimali vardır: Yazı veya Tura.
Örnek uzayın toplam eleman sayısı: $6 \times 6 \times 2 = 72$ .

Örnek 2: Torbadan Top Çekme

Bir torbada 4 mavi, 2 turuncu ve 6 beyaz top bulunmaktadır. Rastgele bir top çekildiğinde turuncu gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Toplam top sayısı: 4 mavi + 2 turuncu + 6 beyaz = 12.
Turuncu top sayısı: 2.
Turuncu gelme olasılığı: $12 2 = 6 1$ .

Örnek 3: Madeni Para Atma

Bir madeni para üç kez atıldığında, en az birinin diğerlerinden farklı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek uzayın eleman sayısı: $2^{3} = 8$ .
Tüm tura veya tüm yazı gelme olasılıkları: 2 (TTT, YYY).
En az birinin farklı olma olasılığı: $8 8 - 2 = 8 6 = 4 3$ .

Gelişmiş Olasılık Problemleri

Örnek 4: Kümenin Alt Kümeleri

Altı elemanlı bir kümenin en çok iki elemanlı alt kümelerinin olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm alt küme sayısı: $2^{6} = 64$ .
En çok iki elemanlı alt kümeler: Boş küme, bir elemanlı kümeler, iki elemanlı kümeler.
Boş küme: 1.
Bir elemanlı kümeler: $C (6, 1) = 6$ .
İki elemanlı kümeler: $C (6, 2) = 15$ .
Toplam: $1 + 6 + 15 = 22$ .
Olasılık: $64 22 = 32 11$ .

Örnek 5: Kümelerde Olasılık

Bir kümenin üç elemanlı alt kümelerinin birinde, belirli bir elemanın bulunma olasılığı nedir?

Çözüm:

5 elemanlı bir kümeden 3 eleman seçmek: $C (5, 3) = 10$ .
Belirli bir eleman sabit, diğer ikisi 4 elemandan seçilecek: $C (4, 2) = 6$ .
Olasılık: $10 6 = 5 3$ .

Örnek 6: Çift ve Tek Sayılar

1 ile 24 arasında numaralandırılmış dolaplardan çift ve sekizden büyük olanların sayısı nedir?

Çözüm:

Sekizden büyük çift sayılar: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
Toplam 8 sayı.
Yeşil dolap olma olasılığı: $8 1$ (1 yeşil dolap).

Kombinasyon Problemleri

Örnek 7: İş Başvurusu

15 kişi arasından 22 yaşında olan bir kişinin işe kabul edilme olasılığı nedir?

Çözüm:

15 kişi arasında 5 kişi 22 yaşında.
Olasılık: $15 5 = 3 1$ .

Örnek 8: Sayılar ve Olasılık

1 ve 5 rakamları kullanılarak oluşturulabilecek 3 basamaklı sayıların toplamı 11 olanlar arasından rastgele seçilen bir sayının 5 ile bölünebilme olasılığı nedir?

Çözüm:

Kullanılabilecek sayılar: 155, 515, 551.
Toplam 3 sayı, hepsi 5 ile bölünebilir.
Olasılık: 1.

Sonuç

Olasılık ve kombinasyon konuları, belirli bir olayın gerçekleşme ihtimalini ve farklı durumların sayısını hesaplamaya yardımcı olur. Bu ders notlarında, temel formüller ve örnek problemlerle konunun anlaşılmasını sağladık. Öğrencilerin bu konuları pratik yaparak pekiştirmesi önemlidir.