Ders Notları: Fonksiyonlar

Giriş

Fonksiyonlar, matematiğin temel kavramlarından biridir ve birçok farklı alanda kullanılır. Bu ders notlarında, fonksiyon kavramını, fonksiyon grafiklerini ve fonksiyonlarla ilgili çeşitli problemleri ele alacağız.

Fonksiyon Tanımı

Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin bir elemanına eşleyen bir kuraldır. Matematiksel olarak, $f : A \to B$ şeklinde gösterilir ve “f, A kümesinden B kümesine bir fonksiyondur” anlamına gelir. A kümesine tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir.

Fonksiyon Grafikleri

Fonksiyon grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın değer kümesindeki karşılığına karşılık gelen noktaların oluşturduğu şekildir. Fonksiyon grafiklerinde en yaygın olarak kullanılan grafik türleri şunlardır:

Doğrusal Fonksiyonlar: $f (x) = m x + b$
- Doğru şeklinde grafikleri vardır.
- m: Doğrunun eğimi, b: y eksenini kestiği nokta.
Parabolik Fonksiyonlar: $f (x) = a x^{2} + b x + c$
- Parabol şeklinde grafikleri vardır.
- a, b ve c: Sabit katsayılar.
Mutlak Değer Fonksiyonları: $f (x) = ∣ x ∣$
- V şeklinde grafikleri vardır.
- x’in pozitif veya negatif değerlerine göre farklılık gösterir.

Fonksiyonların Özellikleri

Fonksiyonların bazı önemli özellikleri vardır:

Teklik: Her x değeri için bir ve yalnız bir y değeri vardır.
Ontoluk: Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı vardır.
Birincilik: Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yalnızca bir elemanla eşleşir.

Örnek Problemler ve Çözümleri

Örnek 1: Fonksiyon Olmayan Grafikleri Belirleme

Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksiyon belirtmez?

Bir grafiğin fonksiyon belirtmesi için, grafikte herhangi bir dikey çizgi yalnızca bir noktada kesişmelidir.
İki noktada kesişen grafik fonksiyon belirtmez.

Çözüm: İki noktada kesişen grafik fonksiyon belirtmez.

Örnek 2: Doğrusal Fonksiyon

Fonksiyon $f (x) = 2 x - 3$ için $f (3)$ nedir?

Çözüm:

$f (x) = 2 x - 3$
$f (3) = 2 (3) - 3 = 6 - 3 = 3$
Cevap: 3.

Örnek 3: Bileşke Fonksiyon

Fonksiyonlar $f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x^{2}$ ise, $(g \circ f) (x)$ nedir?

Çözüm:

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$
$f (x) = 2 x + 1$
$g (f (x)) = (2 x + 1)^{2}$
Cevap: $(g \circ f) (x) = (2 x + 1)^{2}$ .

Örnek 4: Parabolik Fonksiyon

Fonksiyon $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ için $x = 1$ ve $x = 3$ noktalarını bulun.

Çözüm:

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$
$f (1) = 1^{2} - 4 (1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$
$f (3) = 3^{2} - 4 (3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$
Noktalar: (1, 0) ve (3, 0).

Örnek 5: Mutlak Değer Fonksiyonu

Fonksiyon $f (x) = ∣ x - 2∣$ için $f (5)$ ve $f (- 1)$ değerlerini bulun.

Çözüm:

$f (5) = ∣5 - 2∣ = ∣3∣ = 3$
$f (- 1) = ∣ - 1 - 2∣ = ∣ - 3∣ = 3$
Cevaplar: 3 ve 3.

Özet

Fonksiyonlar, matematiksel ilişkilendirme kurallarıdır ve birçok farklı grafik türü ile temsil edilirler. Fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini anlamak, matematikteki birçok problemi çözmek için temel bir gerekliliktir. Bu ders notları, fonksiyonların temel kavramlarını ve örnek problemlerle nasıl uygulandığını açıklamaktadır. Öğrencilerin bu konuları pekiştirmek için daha fazla pratik yapmaları önerilir.