Köklü Sayılar – Doğru Tercihler

Köklü Sayılar Nedir?

Köklü sayılar, bir sayının belirli bir kökünü ifade eden matematiksel ifadelerdir. Köklü ifadeler, genellikle √ (kök işareti) ile gösterilir ve şu şekilde yazılır:

$an\sqrt[n]{a}$

Burada:

$a$ , kökü alınan sayı (taban),
$n$ , kökün derecesi (üstel ifade),
$an\sqrt[n]{a}$ , $a$ sayısının $n$ -inci dereceden köküdür.

Örnek:

$9=3\sqrt{9} = 3$ çünkü $3^2 = 9$ .
$83=2\sqrt[3]{8} = 2$ çünkü $2^3 = 8$ .

2. Köklü Sayıların Temel Özellikleri

Köklü sayılarla işlem yaparken bazı temel özellikler vardır:

2.1. Köklerin Çarpılması

Köklerin Çarpma Özelliği:
$an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ Aynı dereceli köklerin çarpılmasında, köklerin içinde sayılar çarpılır.

Örnek:

$3⋅12=3⋅12=36=6\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$

2.2. Köklerin Bölünmesi

Köklerin Bölme Özelliği:
$anbn=abn\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ Aynı dereceli köklerin bölünmesinde, kökün içinde bölme işlemi yapılır.

Örnek:

$182=182=9=3\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$

2.3. Köklü Sayıların Üssü

Kökün Üssü Özelliği:
$(an)m=amn\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ Kökün üssü alınırken, üs kökün derecesine eklenir.

Örnek:

$(83)2=823=643=4\left( \sqrt[3]{8} \right)^2 = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

2.4. Negatif Sayıların Kökü

Bir sayının kökü alınırken, kök alınan sayının negatif olması kök sonucu ile ilgili sınırlamalar getirir:
- Çift dereceli kökler: Çift dereceli kökler (örneğin $a\sqrt{a}$ ) sadece pozitif sayılar için tanımlıdır.
- Tek dereceli kökler: Tek dereceli kökler (örneğin $a3\sqrt[3]{a}$ ) negatif sayılar için de tanımlıdır.
Örnekler:
- $162=4\sqrt[2]{16} = 4$ (çünkü 4’ün karesi 16’dır),
- $−83=−2\sqrt[3]{-8} = -2$ (çünkü $2)^3 = -8$ ).

2.5. Bir Sayının Kökünü Kuvvetle Alma

Köklü ifadelerde kuvvet alma işlemi, kesirli üslü sayılarla yapılabilir. Bir sayının $n$ -inci dereceden kökü, aynı zamanda o sayının üssü olarak da ifade edilebilir:

$an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Buna göre:

$an⋅bn=a1n⋅b1n=(a⋅b)1n\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}$

Örnek:

$16=1612=4\sqrt{16} = 16^{\frac{1}{2}} = 4$ ,
$273=2713=3\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}} = 3$ .

3. Köklü Sayılarla İlgili İleri Seviye Özellikler

3.1. Köklerin Rasyonel Sayılara Çevrilmesi

Kök ifadesi rasyonel hale getirilebilir. Örneğin, bir köklü sayıdan kök işareti kaldırılabilir veya paydalarda kök bırakılmadan işlem yapılabilir.

Paydada Kök Bulunursa: Paydada kök bulunan bir ifadenin rasyonel hale getirilmesi için, paydanın kökü ile hem pay hem de payda çarpılır.

Örnek:

$rasyonelles¸tirelim:\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{ifadesini rasyonelleştirelim:}$ $12⋅22=22\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3.2. Kök İçinde Kök

Kök içinde kök ifadesi, bir kök daha alınarak çözülür.

Örnek:

$16=4=2\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2$

4. Köklü Sayılarla İlgili Örnek Sorular

Örnek 1:

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:

$8⋅2\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$

Çözüm:

$8⋅2=8⋅2=16=4\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$

Örnek 2:

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:

$502\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

Çözüm:

$502=502=25=5\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Örnek 3:

$643\sqrt[3]{64}$ ifadesini hesaplayınız. Çözüm:

$643=6413=4\sqrt[3]{64} = 64^{\frac{1}{3}} = 4$

Çünkü $4^3 = 64$ .

5. Üniversite Sınavlarında Çıkmış Sorular

Köklü sayılarla ilgili sorular genellikle sadeleştirme, rasyonelleştirme ve kök işlemleri üzerine kuruludur. Bu tür sorular genellikle şu konularda karşımıza çıkar:

Köklerin çarpılması ve bölünmesi
Köklerin paydalarda bulunması ve rasyonelleştirilmesi
Kök içindeki köklerin hesaplanması
Köklü denklemler
Sadeleştirme ve köklü ifadelerde düzenleme

2023 YKS Sorusu:

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:

$12⋅36\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Çözüm:

Üstteki çarpma işlemi:

$12⋅3=12⋅3=36=6\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$

Şimdi bölme işlemi:

$66=66⋅66=6⋅66=6\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6 \cdot \sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$

Cevap: $6\sqrt{6}$

6. Sonuç

Köklü sayılar, üniversite sınavlarında sıklıkla kullanılan ve önemli bir yer tutan konulardan biridir. Bu ders notunda, köklü sayılarla ilgili temel özellikler, örnekler ve sınavlarda karşılaşılan soru tipleri ele alınmıştır. Köklü sayılarla ilgili soruları çözebilmek için köklerin çarpma, bölme, rasyonelleştirilmesi ve sadeleştirilmesi gibi işlemleri iyi kavramak gerekmektedir.