Mutlak Değer

Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sıfırdan ne kadar uzak olduğunu ifade eder. Yani, bir sayının büyüklüğü, işareti ne olursa olsun pozitif değer olarak alınır.

Matematiksel olarak mutlak değer, şu şekilde gösterilir:

  • ∣a∣|a|: aa sayısının mutlak değeri

Mutlak değerin tanımını şu şekilde yapabiliriz:

  • Pozitif bir sayının mutlak değeri, kendisinin ta kendisidir. ∣a∣=a(eg˘er a>0)|a| = a \quad \text{(eğer } a > 0\text{)}
  • Negatif bir sayının mutlak değeri, sayının karşısındaki pozitif değerdir. ∣a∣=−a(eg˘er a<0)|a| = -a \quad \text{(eğer } a < 0\text{)}
  • Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. ∣0∣=0|0| = 0

2. Mutlak Değerin Özellikleri

Mutlak değerin bazı temel özellikleri şunlardır:

  • Pozitiflik Özelliği: ∣a∣≥0|a| \geq 0 her zaman doğrudur.
  • Çarpma Özelliği: ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b|
  • Bölme Özelliği: ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, b≠0b \neq 0
  • Toplama ve Çıkarma Özelliği: ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣(Triangular inequality)|a + b| \leq |a| + |b| \quad \text{(Triangular inequality)}
  • Simetriklik: ∣a∣=∣−a∣|a| = |-a|

3. Mutlak Değer Eşitsizlikleri

Mutlak değerli eşitsizlikler, genellikle iki türde karşımıza çıkar:

  1. Bir tarafı mutlak değerli eşitsizlikler:
    • Örnek: ∣x∣<a|x| < a ve ∣x∣≤a|x| \leq a
  2. İki tarafı mutlak değerli eşitsizlikler:
    • Örnek: ∣x∣>a|x| > a ve ∣x∣≥a|x| \geq a

3.1. Bir Tarafı Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Eğer bir eşitsizlik şu şekilde verilirse: ∣x∣<a(veya)∣x∣≤a|x| < a \quad \text{(veya)} \quad |x| \leq a

Bu eşitsizliği çözmek için, xx‘i negatif ve pozitif değerler için iki farklı durumu göz önünde bulundururuz:

  • ∣x∣<a|x| < a için:
    −a<x<a-a < x < a
  • ∣x∣≤a|x| \leq a için:
    −a≤x≤a-a \leq x \leq a

Örnek 1: ∣x∣<5c¸o¨zu¨mu¨:−5<x<5|x| < 5 \quad \text{çözümü:} \quad -5 < x < 5

Örnek 2: ∣x∣≤3c¸o¨zu¨mu¨:−3≤x≤3|x| \leq 3 \quad \text{çözümü:} \quad -3 \leq x \leq 3

3.2. İki Tarafı Mutlak Değerli Eşitsizlikler

İki tarafı mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü, iki farklı duruma ayrılır. Genel çözüm biçimi şudur: ∣x∣>a(veya)∣x∣≥a|x| > a \quad \text{(veya)} \quad |x| \geq a

Bu durumda çözüm şu şekilde yapılır:

  • ∣x∣>a|x| > a için:
    x<−aveyax>ax < -a \quad \text{veya} \quad x > a
  • ∣x∣≥a|x| \geq a için:
    x≤−aveyax≥ax \leq -a \quad \text{veya} \quad x \geq a

Örnek 3: ∣x∣>4c¸o¨zu¨mu¨:x<−4veyax>4|x| > 4 \quad \text{çözümü:} \quad x < -4 \quad \text{veya} \quad x > 4

Örnek 4: ∣x∣≥2c¸o¨zu¨mu¨:x≤−2veyax≥2|x| \geq 2 \quad \text{çözümü:} \quad x \leq -2 \quad \text{veya} \quad x \geq 2

4. Üniversite Sınavında Çıkmış Örnek Sorular

4.1. Örnek 1 (2023 YKS)

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir? ∣2x−3∣≤7|2x – 3| \leq 7

  • Çözüm:
    • −7≤2x−3≤7-7 \leq 2x – 3 \leq 7 (Mutlak değeri kaldırıyoruz)
    • −4≤2x≤10-4 \leq 2x \leq 10 (Her iki tarafa 3 ekliyoruz)
    • −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5 (Her iki tarafı 2’ye bölüyoruz)

Cevap: x∈[−2,5]x \in [-2, 5]

4.2. Örnek 2 (2022 YKS)

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir? ∣x+3∣>4|x + 3| > 4

  • Çözüm:
    • x+3>4veyax+3<−4x + 3 > 4 \quad \text{veya} \quad x + 3 < -4
    • x>1veyax<−7x > 1 \quad \text{veya} \quad x < -7

Cevap: x<−7veyax>1x < -7 \quad \text{veya} \quad x > 1

5. Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değerli denklemler de mutlak değeri içeren ifadelerdir. Mutlak değerli bir denklemi çözmek için mutlak değerin içindeki ifadeyi pozitif ve negatif durumlar için çözmek gereklidir.

Örnek: ∣x−2∣=5|x – 2| = 5 Bu denklemin iki durumu vardır:

  1. x−2=5⇒x=7x – 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 7
  2. x−2=−5⇒x=−3x – 2 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -3

Cevap: x=7veyax=−3x = 7 \quad \text{veya} \quad x = -3

6. Sonuç

Mutlak değer, bir sayının büyüklüğünü ve uzaklığını gösterir. Üniversite sınavlarında mutlak değerli eşitsizlikler ve denklemler sıklıkla karşımıza çıkar. Mutlak değeri içeren eşitsizlikleri çözmek için, pozitif ve negatif durumları dikkate alarak işlem yapmalıyız. Bu ders notlarıyla mutlak değer konusuna dair önemli adımları öğrenmiş oldunuz.