Permütasyon ve Kombinasyon Ders Notları

Giriş

Permütasyon ve kombinasyon, olasılık hesaplamalarında ve çeşitli sıralama ve seçim problemlerinde sıkça kullanılan iki temel kavramdır. Bu ders notlarında, permütasyon ve kombinasyonun temel prensipleri ve uygulamaları üzerinde duracağız.

Permütasyon

Permütasyon, bir kümedeki elemanların belirli bir sırayla dizilmesi işlemidir. Permütasyonun formülü şu şekildedir:

$P (n, r) = ( n - r )! n !$

Burada:

$n$ : Toplam eleman sayısı
$r$ : Sıralanacak eleman sayısı
$n!$ : n faktöriyel, yani 1’den n’ye kadar olan sayıların çarpımı

Örnek: 8 kişilik bir gruptan ilk 3 dereceyi kazanacak şekilde sıralama yapılacaksa:

$P (8, 3) = 5 ! 8 ! = 8 \times 7 \times 6 = 336$

Kombinasyon

Kombinasyon, bir kümedeki elemanların sırasız olarak seçilmesi işlemidir. Kombinasyonun formülü şu şekildedir:

$C (n, r) = r ! ( n - r )! n !$

Burada:

$n$ : Toplam eleman sayısı
$r$ : Seçilecek eleman sayısı
$n!$ : n faktöriyel

Örnek: 7 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite seçilecekse:

$C (7, 3) = 3 ! 4 ! 7 ! = 3 \times 2 \times 1 7 \times 6 \times 5 = 35$

Uygulama Örnekleri

Örnek 1: Alt Küme

Bir kümede 8 eleman var (a, b, c, d, e, f, g, h). Bu kümenin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde a elemanı bulunur?

Çözüm: a elemanını sabit olarak alıyoruz. Geriye kalan 7 elemandan 3 eleman seçmemiz gerekiyor:

$C (7, 3) = 35$

Örnek 2: Sağlık Ekibi

6 doktor ve 8 hemşire arasından en az bir doktor ve en az bir hemşire olacak şekilde 3 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Kaç farklı şekilde ekip oluşturulabilir?

Çözüm: İki olasılık var: 2 doktor 1 hemşire veya 1 doktor 2 hemşire.

2 doktor, 1 hemşire: $C (6, 2) \times C (8, 1) = 120$
1 doktor, 2 hemşire: $C (6, 1) \times C (8, 2) = 168$

Toplam: $120 + 168 = 288$

Örnek 3: Takım Oluşturma

6 kişilik bir grup, 3’er kişilik iki takım oluşturacak. Kaç farklı takım oluşturulabilir?

Çözüm: Öncelikle 6 kişiden 3 kişilik bir takım seçeriz, geri kalanlar diğer takımı oluşturur:

$C (6, 3) = 20$

Fakat bu takımların sıralaması önemli değil, bu yüzden tekrar eden durumları çıkarırız:

$2 C ( 6 , 3 ) = 10$

Örnek 4: Çember Üzerindeki Noktalar

Bir çember üzerinde 7 nokta ve bir doğru üzerinde 6 nokta var. Üçgen oluşturulacaksa, sadece iki köşesi çember üzerinde olacak şekilde kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Çözüm: Önce çember üzerindeki 2 nokta seçilir:

$C (7, 2) = 21$

Doğru üzerindeki bir nokta seçilir:

$C (6, 1) = 6$

Toplam: $21 \times 6 = 126$

Permütasyon ve Kombinasyon Ders Notları 2

Giriş

Bu ders notlarında, permütasyon ve kombinasyon konusunu daha derinlemesine inceleyeceğiz ve çeşitli örnekler üzerinden konuyu pekiştireceğiz.

Permütasyon

Permütasyonlar, bir kümedeki elemanların belirli bir sırayla dizilmesi işlemidir. Özellikle sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır.

Formül: $P (n, r) = ( n - r )! n !$

Örnek: 8 kişilik bir gruptan 3 kişi seçip sıralamak:

$P (8, 3) = 336$

Kombinasyon

Kombinasyonlar, bir kümedeki elemanların sırasız olarak seçilmesi işlemidir. Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda kullanılır.

Formül: $C (n, r) = r ! ( n - r )! n !$

Örnek: 7 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite seçmek:

$C (7, 3) = 35$

Uygulama Örnekleri

Örnek 1: Alt Küme

8 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde a elemanı bulunur?

Çözüm: $C (7, 3) = 35$

Örnek 2: Sağlık Ekibi

6 doktor ve 8 hemşire arasından en az bir doktor ve bir hemşire olacak şekilde 3 kişilik ekip:

Çözüm: $120(2,1ℎ\c)+168(1,2ℎ\c)=288$

Örnek 3: Takım Oluşturma

6 kişilik gruptan 3’er kişilik iki takım oluşturmak:

Çözüm: $2 C ( 6 , 3 ) = 10$

Örnek 4: Çember Üzerindeki Noktalar

Bir çemberde 7 nokta ve bir doğru üzerinde 6 nokta var. Sadece iki köşesi çember üzerinde olacak üçgenler:

Çözüm: $21 \times 6 = 126$

Sonuç

Permütasyon ve kombinasyon, sıralama ve seçim problemlerini çözmek için kullanılır. Bu notlar, temel kavramları ve örnekleri içerir. Öğrenciler, bu konuları anlamak için bu notları kullanarak matematiksel düşünme becerilerini geliştirebilirler.