Üslü Sayılar

Üslü Sayılar Nedir?

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlanan çarpımını ifade eden matematiksel ifadelerdir. Genel olarak, bir sayının üssü şöyle gösterilir: $a^n$

Burada:

$a$ , taban (veya sayı),
$n$ , üs (veya kuvvet) olarak adlandırılır.

Bu ifade, “a’nın n’inci kuvveti” olarak okunur ve anlamı: $c¸arpılır)a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \quad \text{(n tane $a$ çarpılır)}$

Örnek:

$23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$54=5⋅5⋅5⋅5=6255^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

2. Üslü Sayıların Temel Özellikleri

Üslü sayılarla işlem yaparken bazı temel özellikleri bilmek önemlidir:

2.1. Çarpma ve Bölme Özellikleri

Çarpma Özelliği:
$am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
- Örnek: $23⋅24=23+4=27=1282^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
Bölme Özelliği:
$a≠0)\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{(burası $a \neq 0$)}$ Aynı tabanlı üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.
- Örnek: $5753=57−3=54=625\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$

2.2. Üssün Üsse Alınması

Üssün Üssü Özelliği: $(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ Üst üste alınan üslü sayılarda üsler çarpılır.
- Örnek: $(32)4=32⋅4=38=6561(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561$

2.3. Çarpanların Üssü

Çarpanların Üssü Özelliği: $\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ Bir çarpanın üssü alınırken her çarpan için ayrı ayrı üssü alınır.
- Örnek: $\cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$

2.4. Sıfırın ve Birin Kuvvetleri

$a^0 = 1$ (a ≠ 0)
Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. (Sıfır dışındaki sayılar için)
- Örnek: $5^0 = 1$ , $3)^0 = 1$
$1^n = 1$
Bir sayının her hangi bir kuvveti 1 ise, sonuç her zaman 1’dir.
- Örnek: $1^5 = 1$ , $1^{100} = 1$

2.5. Negatif Üslü Sayılar

Negatif üs:
Negatif üs, tabanın tersinin alınmasını ifade eder. Genel olarak: $a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Örnek: $2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

2.6. Kesirli Üsler

Kesirli üs:
Bir sayının kesirli üssü, kök alma işlemiyle bağlantılıdır. Genel olarak: $amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
- Örnek: $813=83=28^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
- Örnek: $1614=164=216^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$

3. Üslü Sayılarla İlgili Önemli Kurallar

Pozitif Tabanın Üssü: Herhangi bir pozitif sayının herhangi bir kuvveti her zaman pozitiftir.
Negatif Tabanın Üssü:
- Eğer üs çiftse, sonuç pozitif olur.
- Eğer üs tekse, sonuç negatif olur.

Örnekler:

$2)^3 = -8$ (tek üssün sonucu negatif)
$2)^4 = 16$ (çift üssün sonucu pozitif)

4. Üslü Sayılarla İlgili Sorular

4.1. Örnek 1:

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirin:

$(32⋅34)÷33(3^2 \cdot 3^4) \div 3^3$

Çözüm:

Çarpma işlemini yapalım: $32⋅34=32+4=363^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
Bölme işlemini yapalım: $3633=36−3=33\frac{3^6}{3^3} = 3^{6-3} = 3^3$
Sonuç: $3^3 = 27$

4.2. Örnek 2:

$4324^{\frac{3}{2}}$ ifadesini hesaplayın. Çözüm:

$432=43=64=84^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$

4.3. Örnek 3:

Aşağıdaki denklemi çözün:

$x^3 = 27$

Çözüm:

$x3=27⇒x=273=3x^3 = 27 \Rightarrow x = \sqrt[3]{27} = 3$

5. Üniversite Sınavlarında Çıkmış Sorular

Üslü sayılarla ilgili sorular, genellikle aşağıdaki türlerde çıkmaktadır:

Üslü sayıları çarpma, bölme veya üssün üssü gibi işlemlerle sadeleştirme.
Kesirli üssü bulunan ifadeleri kök şeklinde yazma.
Negatif üslü ifadeleri sadeleştirerek çözme.
Üslü denklemler ve eşitlikler.

2022 YKS Sorusu:

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:

$25⋅4382\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^2}$

Çözüm:

$4 = 2^2$ ve $8 = 2^3$ olduğu için: $25⋅(22)3(23)2=25⋅2626=25+626=211−6=25=32\frac{2^5 \cdot (2^2)^3}{(2^3)^2} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^6} = \frac{2^{5+6}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5 = 32$

Cevap: 32

6. Sonuç

Üslü sayılar, matematiksel hesaplamaların hızlandırılmasında önemli bir yer tutar. Bu ders notları, üniversite sınavında sıkça karşımıza çıkan üslü sayılarla ilgili temel kavramları ve özellikleri içermektedir. Üslü sayılarla ilgili soruları doğru bir şekilde çözebilmek için, çarpma, bölme, üssün üssü, negatif üs ve kesirli üs özelliklerini iyi anlamak gerekmektedir.