TYT MATEMATİK: BİNOM AÇILIMI ÇALIŞMA KAĞIDI
Merhaba sevgili öğrencim! 👋 Bugün birlikte Binom Açılımı’nı öğreneceğiz. Eğer bu konuyu daha önce hiç duymadıysan hiç sorun değil! Sana adım adım, özel ders formatında anlatacağım. ÖSYM bu konuyu TYT ve AYT’de her yıl sormasa da, olasılık ve kombinasyon gibi konularla bağlantılı olduğu için bilmek büyük avantaj sağlar. Hadi başlayalım! 🚀
📌 BİNOM AÇILIMI NEDİR?
Binom Açılımı, (x + y)<sup>n</sup> şeklindeki ifadelerin açılımını düzenli bir şekilde yazmamızı sağlayan matematiksel bir yöntemdir.
Burada:
- x ve y → Binomun iki terimidir.
- n → Kuvveti gösterir.
- Kombinasyon katsayıları açılımın her teriminin katsayısını belirler.
Örneğin:
📌 (x + y)<sup>3</sup> açılımını uzun uzun çarparak bulabiliriz:
(x + y) (x + y) (x + y)
Ama bunu her seferinde çarpmak zaman kaybettirir! Bunun yerine Binom Açılımı formülü ile doğrudan açılımı yazabiliriz.
📌 BİNOM AÇILIMI FORMÜLÜ 📝
Genel formül şudur:
(x + y)<sup>n</sup> = C(n,0) x<sup>n</sup> y<sup>0</sup> + C(n,1) x<sup>n-1</sup> y<sup>1</sup> + … + C(n,n) x<sup>0</sup> y<sup>n</sup>
Bu ne anlama geliyor? Gel, birlikte inceleyelim! 👇
- C(n,k) → Kombinasyon ile katsayıları buluyoruz.
- x ve y’nin üstleri → x’in kuvveti büyükten küçüğe, y’nin kuvveti küçükten büyüğe gidiyor.
- Toplam terim sayısı n + 1 olur.
📌 ÖRNEK: (x + y)<sup>4</sup> açılımını yazalım:
C(4,0) x<sup>4</sup> + C(4,1) x<sup>3</sup> y + C(4,2) x<sup>2</sup> y<sup>2</sup> + C(4,3) x y<sup>3</sup> + C(4,4) y<sup>4</sup>
Kombinasyonları hesaplayalım:
1x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + 1y⁴
Ve işte sonuç! 🎯
📌 BİNOM KATSAYILARINI BULMA YÖNTEMLERİ
Eğer her seferinde kombinasyon hesaplamak istemiyorsan Pascal Üçgeni kullanabilirsin!
| n | Katsayılar |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 – 1 |
| 2 | 1 – 2 – 1 |
| 3 | 1 – 3 – 3 – 1 |
| 4 | 1 – 4 – 6 – 4 – 1 |
| 5 | 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 |
📌 ÖSYM Notu: Pascal Üçgeni genellikle ÖSYM’nin doğrudan sormadığı ama dolaylı olarak sorabileceği bir konudur.
📌 ÖSYM BUNU SORAR!
ÖSYM, Binom Açılımı’nı genellikle üç şekilde sorar:
🟢 1. KATSAYI BULMA
📌 SORU:
(x + 2y)<sup>5</sup> açılımında x<sup>3</sup>y<sup>2</sup>’nin katsayısı kaçtır?
✔️ ÇÖZÜM:
- Genel terim: C(5,k) x<sup>5-k</sup> (2y)<sup>k</sup>
- İstenen terim için k = 2
- C(5,2) = 10
- (2y)² = 4y²
- Sonuç: 10 × 4 = 40
🟡 2. BELİRLİ BİR TERİMİ BULMA
📌 SORU:
(3x – y)<sup>6</sup> açılımında x<sup>4</sup> içeren terimi bulun.
✔️ ÇÖZÜM:
- Genel formül: C(6,k) (3x)<sup>6-k</sup> (-y)<sup>k</sup>
- x<sup>4</sup> içeren terim için: 6-k = 4 → k = 2
- C(6,2) = 15
- (3x)<sup>4</sup> = 81x⁴
- (-y)² = y²
- Sonuç: 15 × 81x⁴ × y² = 1215x⁴y²
🔴 3. KATSAYILAR TOPLAMI
📌 SORU:
(x – 2)<sup>5</sup> açılımındaki katsayıların toplamı kaçtır?
✔️ ÇÖZÜM:
Katsayıların toplamını bulmak için x ve y yerine 1 koyarız!
📌 (1 – 2)<sup>5</sup> = (-1)<sup>5</sup> = -1
📌 BİNOM AÇILIMINDA PÜF NOKTALAR! 🎯
✅ Sıralamayı unutma! x’in üssü azalır, y’nin üssü artar.
✅ Kombinasyonları Pascal Üçgeni ile kolayca bulabilirsin.
✅ Terimlerdeki katsayıları karıştırmamak için dikkatli yaz.
✅ Bilinmeyen terimler için genel formülü uygula.
📌 TYT & AYT’DE BU KONUYU NASIL ÇALIŞMALIYIM?
✔️ Her gün 5-10 soru çöz.
✔️ ÖSYM’nin çıkmış sorularını incele.
✔️ Öğrendiğin formülleri küçük bir not kağıdına yaz ve her gün tekrar et.
✔️ Özellikle terim bulma ve katsayı hesaplama sorularına odaklan.
Bu çalışma programını uygularsan Binom Açılımı sorularını rahatlıkla çözeceksin! 🚀